1. PDE 中的对称性 (Symmetry)

对称性就是：方程在某些变换下保持不变。

2. 守恒律 (Conservation Laws)

守恒律是指某种“整体量”随时间不变。典型形式：

∂tρ+∇⋅J=0,\partial_t \rho + \nabla \cdot J = 0,

其中 ρ\rho 是密度，JJ 是通量。

例子

• 质量守恒 (mass conservation)

  连续性方程：∂tρ+∇⋅(ρu)=0\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0。

• 动量守恒 (momentum conservation)

  Euler 方程、Navier–Stokes。

• 能量守恒 (energy conservation)

  在无粘流体或孤子系统中尤为重要。

• 熵守恒 / 单调性 (entropy conservation / dissipation)

  Burgers’ 方程：粘性项保证熵不会减少。

这些守恒律往往意味着方程可以写成“散度形式 (divergence form)”，比如

ut+f(u)x=0.u_t + f(u)_x = 0.

3. 为什么这些结构能帮助线性化？

Cole–Hopf 的例子：

• Burgers 方程的非线性项 uuxu u_x 本质上对应动量流量的守恒律。